Ühe kanaliga smo koos ooterežiimiga. QS ootega (järjekorraga) Ühe kanaliga QS piiramatus järjekorras ootamisega

⁰

Seal on n-kanaliga QS piiramatu järjekorraga. Seda iseloomustavad järgmised näitajad:

Piira tõenäosus:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Tõenäosus, et rakendus on järjekorras:

(11)

(13)

Keskmine järjekorras oldud aeg:

(15)

Keskmine aeg, mille rakendus järjekorras veedab:

Vaatleme näidet mitme kanaliga QS-i probleemi lahendamisest koos ootamisega.

Ülesanne. Kaupluses saabub kassadesse klientide voog intensiivsusega 81 inimest tunnis. Keskmine kassapidaja ühe kliendi teenindamise kestus = 2 minutit. Määrake arvutussõlme olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused.

Tingimuse järgi λ=81(in/tund)= 81/60=1,35 (in/min). Vastavalt valemitele (1, 2):

= λ/μ= λ * tobsl = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n >= 2,7. Seega on minimaalne kassapidajate arv n =3.

Leiame QS-i teenindusomadused n=3 jaoks.

Tõenäosus, et kassades pole kliente, valemi (9) järgi:

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

Keskmiselt on kassapidajad jõude 2,5% ajast.

Tõenäosus, et kassas tekib järjekord, määratakse valemiga (11):

P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735

Järjekorras olevate ostjate keskmine arv arvutatakse valemi (13) abil:

L = (2,7 /(3*3!(1-2,7/3)))*0,025 = 7,35 (inimesed)

T = 7,35/1,35 = 5,44 (min)

Määrame valemi (15) abil kassade keskmise klientide arvu:

L = 7,35 + 2,7 = 10,05 (inimesed)

Klientide keskmine kassas veedetud aeg määratakse valemiga (16):

T = 10,05/1,35 = 7,44 (min)

Keskmine kliente teenindavate kassapidajate arv valemi (12) järgi = 2,7.

Teenindusega tegelevate kassapidajate koefitsient (osakaal) arvutatakse järgmise valemi abil:

Arvutussõlme absoluutne läbilaskevõime on A=1,35 (in/min), ehk 81 (in/tund), s.o. 81 klienti tunnis. Teenuseomaduste analüüs näitab kolme kassaga kassaaparaatide märkimisväärset ülekoormust.

Piiratud järjekorraga järjekorrasüsteemid

Seal on piiratud järjekorraga n-kanaliga QS. Järjekorras olevate taotluste arv on piiratud m. Kui rakendus saabub ajal, mil järjekorras on juba m rakendust, siis seda ei teenindata. Sellist QS-i iseloomustavad järgmised näitajad:

Piira tõenäosus:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

Ebaõnnestumise tõenäosus:

(19)

Suhteline ribalaius:

Absoluutne läbilaskevõime:

Keskmine hõivatud kanalite arv:

Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv:

(23)

Keskmine rakenduste arv süsteemis:

Näide QS optimeerimisest

Järjekorrasüsteemi jõudlusnäitajaid saab kasutada optimeerimisprobleemide lahendamiseks.

Ülesanne.

Määrata minimaalsete kuludega optimaalne kaide arv sadamas, kui on teada, et aasta jooksul teenindati 270 laeva. Ühe laeva mahalaadimine kestab keskmiselt 12 tundi. Laevade seisaku trahv sadamas on 100 tuhat rubla/päev Kai kulud 150 tuhat rubla/päev. Arvutused on näidatud tabelis.

Lahendus.

Tingimuste järgi

λ = 270 (laevu aastas) = 270/360 = 0,75 (laevu päevas),

tobsl=12h=12/24=0,5 päeva.

Vastavalt valemitele (1, 2):

= λ/μ= λ * tobsl = 0,75 * 0,5 = 1,5

Järjekord ei kasva tingimusel /n lõpmatuseni<1, т.е. при n >= 1,5. Seega on minimaalne magamiskohtade arv n =2.

Leiame sadama QS teeninduskarakteristikud kaide arvuga n=2.

Arvutame valemi (9) abil välja tõenäosuse, et sadamas ei ole laevu:

Keskmiselt seisavad koid jõude 1,4% ajast.

Järjekorras olevate laevade keskmine arv arvutatakse valemi (13) abil:

Keskmine ooteaeg järjekorras arvutatakse valemi (14) abil:

T = 1,93/0,75 = 2,57 (päevad)

Määrame keskmise laevade arvu sadamas valemiga (15):

L=1,93+1,5=3,43 (laevad)

Laevade keskmine sadamas viibimise aeg määratakse valemiga (16):

T = 3,43 / 0,75 = 4,57 (päevad)

Keskmine hõivatud kaikohtade arv (12) =1,5.

Teenindusomaduste analüüs viitab kahe kaikohaga sadama olulisele ummikule.

Leiame kogutrahvi laevade seisaku eest ööpäevas. Selleks korrutame laeva sadamas seisaku trahvi ja keskmise järjekorras olevate aluste arvu:

= * L .

Määrame kaide teenindamise maksumuse päevas: = *n.

Kahe magamiskoha eest päevas

Kogukulud on: C= + =193+300=493 (rahaühikud)

Kogukulud vastavalt probleemsetele tingimustele peaksid olema minimaalsed.

Arvutame kokku kulud kaide arvule n = 2, 3, 4. Arvutused on toodud tabelis. Nagu tabelist näha, saavutatakse minimaalsed kulud, kui n = 3. Seetõttu on kulude minimeerimiseks vaja 3 magamiskohta.

Tabel 1.- Optimaalse koide arvu arvutamine

Indeks	Kaide arv

Laevaliikluse intensiivsus	0,75	0,75	0,75
Laeva teenindamise intensiivsus	0,5	0,5	0,5
Kai koormuse intensiivsus	1,5	1,5	1,5
Tõenäosus, et kõik magamiskohad on vabad	0,14	0,21	0,22
Keskmine järjekorras olevate laevade arv	1,93	0,24	0,04
Keskmine aeg, mille laev on järjekorras, päevad.	2,57	0,32	0,06
Keskmine laevade arv sadamas	3,43	1,74	1,54
Laeva keskmine sadamas viibimise aeg, päevad	4,57	2,32	2,06
Trahv laeva seisaku eest sadamas, rahaühikud/päev. ()	100,00	100,00	100,00
Kai hoolduskulud päevas, rahaühikud/päev. ()	150,00	150,00	150,00
Kogutrahv laevade seisaku eest sadamas päevas, rahaühikutes. ()	192,86	23,68	4,48
Kai hoolduse kulud kokku päevas, rahaühikutes. ()	300,00	450,00	600,00
Kogukulud, rahaühikud (C)	492,86	473,68	604,48

Ülesande valikud

Tabel 2 – Ülesande valikud

Võimaluse number

Ülesanne
Võimaluse number

Ülesanne

1. Juuksuris teeb meister olenevalt soengu keerukusest töö valmis keskmiselt 30 minutiga. Külastajad saabuvad keskmiselt 25 minuti pärast. Iga töötunni eest teenib meister 300 rahaühikut Järjekord on piiratud 4 inimesega. Kui järjekorras on rohkem kui 4 inimest, siis klient lahkub ja kahjum tunnis on 150 rahaühikut. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake optimaalne käsitööliste arv.

2. Autod saabuvad tanklatesse keskmiselt 2 autot 5 minuti kohta. Auto tankimine võtab keskmiselt 3 minutit. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake veergude arv nii, et järjekorra keskmine pikkus ei ületaks 3 veergu.

3. Kaalutakse sõidukite ennetava ülevaatuse keskuse ööpäevaringset tööd. Iga masina kontrollimiseks ja defektide tuvastamiseks kulub keskmiselt 30 minutit. Keskmiselt võetakse ülevaatusele 36 autot ööpäevas. Kui ülevaatuspunkti saabunud auto ei leia ühtegi kanalit vabaks, jätab ta ülevaatuspunkti hooldamata. Määrake ennetava ülevaatuspunkti tingimuste ja hooldusomaduste tõenäosus. Määrake kanalite arv nii, et suhteline läbilaskevõime oleks vähemalt 0,8.

4. Erakorralises jalatsiparanduse töökojas vajab meister olenevalt remondi keerukusest keskmiselt 15 minutit. Külastajad saabuvad keskmiselt iga 14 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake käsitööliste arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 5 tellimust.

5. Kasutajatoas annab operaator infot keskmiselt 4 minutiga. Kõned saabuvad iga 3 minuti järel. Kui operaatorid on hõivatud, siis kõnet ei teenindata. Määrake kasutajatoe teenuse olekute ja omaduste tõenäosused. Määrake kanalite arv nii, et suhteline läbilaskevõime oleks vähemalt 0,75.

6. Olenevalt ostjal olevate toodete arvust kulub poe kassapidajal keskmiselt ühe tšeki jaoks 2 minutit. Kliendid lähenevad kassasse kiirusega 81 inimest/tund. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake kassapidajate arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 4 klienti.

7. Olenevalt sõiduki tüübist kulub ATP-s dispetšeril ühe marsruudilehe väljastamiseks keskmiselt 20 minutit. Autode taotlusi laekub keskmiselt iga 30 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake dispetšerite arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 2 päringut.

8. On vaja hinnata automaatse telefonikeskjaama tööd. Kui kõik sideliinid on hõivatud, lahkub abonent süsteemist. Kõned saabuvad intensiivsusega 2 kõnet/min Kõnede kestus jaotub eksponentsiaalselt ja keskmiselt on 1,5 minutit. Määrake süsteemi piiravad tõenäosused ja toimivusnäitajad. Määrake operaatorite arv nii, et telefonijaama suhteline võimsus ei oleks väiksem kui 0,9.

9. Pangas, olenevalt kliendi soovi keerukusest, vajab kassapidaja keskmiselt 10 minutit. Kliendid pöörduvad tema poole keskmiselt iga 12 minuti järel. Kassapidaja teenib 15 000 rahaühikut. kuus. Järjekord on piiratud 6 inimesega. Kui järjekorras on üle 6 inimese, siis klient lahkub ja kahjum tunnis on 200 rahaühikut. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake optimaalne kassapidajate arv.

10. Keskmiselt võtab üks pangaautomaadi tehing aega 2 minutit. Kliendid pöörduvad tema poole keskmiselt iga 20 minuti tagant. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake sularahaautomaatide arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 2 inimest.

11. Kaupluses kulub müüjal olenevalt ostjast ühe ostu sooritamiseks keskmiselt 10 minutit. Ostjad pöörduvad tema poole keskmiselt iga 5 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake müüjate arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 5 inimest.

12. Mööblivabriku tellimuste osakonnas kulub müügijuhil olenevalt kliendi tellimusest ühe tellimuse vormistamiseks keskmiselt 25 minutit. Kliendid tulevad keskmiselt iga 30 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake juhtide arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 3 inimest.

Töökäsk

1.Arvutage järjekorrasüsteemi näitajad Excelis juhendis toodud valemite abil. Valiku optimaalse väärtuse leidmiseks sorteeritakse teeninduskanalite arv n=1, 2, 3...k. Eeldatakse, et sisendvood ja teenus järgivad Poissoni jaotust.

2. Analüüsige saadud tulemusi.

3. Kirjutage aruanne.

1) Töö eesmärk;

2) probleemipüstitus;

3) Excelis tehtud arvutuste tulemused;

4) järeldused töö lõpetamise kohta.

Kontrollküsimused

1. Mida hõlmab järjekorrasüsteemi mõiste?

2. Mis tüüpi järjekorrasüsteemid on olemas?

3. Millised on järjekorrasüsteemide peamised omadused ja toimivusnäitajad?

4. Täpsustage sissetuleva nõuetevoo peamised omadused (karakteristikud)?

5. Loetlege ootega järjekorrasüsteemide peamised omadused ja omadused?

6. Millised on riketega QS-i peamised omadused?

7. Too näiteid erinevate QS tüüpide kohta?

Bibliograafia

1. Afanasjev M.Yu. Operatsiooniuuringud majandusteaduses: mudelid, probleemid, lahendused. / M.Yu. Afanasjev, B.P. Suvorov.- M.: INFRA, 2003.-444 lk.

2. Ventzel E.S. Operatsiooniuuringud. Eesmärgid, põhimõtted, metoodika./ E.S. Ventzel.-M.: Kõrgkool, 2001.-208lk.

3. Zaichenko Yu.P. Operatsiooniuuringud/ Yu.P. Zaichenko.-K.: Vištša kool, 1975.-320lk.

4. Konyukhovsky P.V. Matemaatilised meetodid operatsioonide uurimiseks. / P.V. Konyukhovsky. - Peterburi: Peeter, 2001.-192 lk.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Operatsioonide uurimine majandusteaduses./ N.Sh. Kremer, B.A. Butko, I.M. Trishin.- M.: Pangad ja börsid, ÜHTSUS, 1997.-407 lk.

1. Kudrjavtsev E.M. GPSS World. Erinevate süsteemide simulatsioonimodelleerimise alused - M.: DMK Press, 2004. - 320 lk.

2. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Süsteemide modelleerimine. - M.: Kõrgkool, 1985

3. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Süsteemide modelleerimine: kursuse kujundamine. - M.: Kõrgkool, 1989

QS-teenuse eesmärk. Veebikalkulaator on loodud ühe kanaliga QS-i järgmiste näitajate arvutamiseks:

kanali rikke tõenäosus, vaba kanali tõenäosus, absoluutne läbilaskevõime;
suhteline läbilaskevõime, keskmine teenindusaeg, keskmine kanali seisakuaeg.

Juhised. Selliste probleemide võrgus lahendamiseks valige QS-mudel. Täpsustage nõudluse voolu intensiivsus λ Ja teenindusvoolu intensiivsus μ. Piiratud järjekorra pikkusega ühekanalilise QS-i jaoks saate määrata järjekorra pikkus m, ja piiramatu järjekorraga ühekanalilise QS puhul - järjekorras olevate rakenduste arv (nende rakenduste järjekorras olemise tõenäosuse arvutamiseks). vaata lahenduse näidet. . Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili.

Ühe kanaliga järjekorrasüsteemide klassifikatsioon

Näide nr 1. Autotankla on olemas üks Bensiinijaam. Eeldatakse, et jaama siseneb kõige lihtsam autode voog intensiivsusega λ=11 autot/tunnis. Päringu teenindamise aeg on juhuslik suurus, mis järgib eksponentsiaalset seadust parameetriga μ=14 sõidukit tunnis. Määrake keskmine autode arv jaamas.

Näide nr 2. Ühe ülevaatusgrupiga masinate ennetava ülevaatuse läbiviimisel on punkt. Iga masina kontrollimiseks ja defektide tuvastamiseks kulub keskmiselt 0,4 tundi. Keskmiselt saab ööpäevas ülevaatusele 328 autot. Päringute ja teenuste vood on kõige lihtsamad. Kui ülevaatuspunkti saabunud auto ei leia ühtegi kanalit vaba, jätab ta ülevaatuspunkti hooldamata. Määrake ennetava ülevaatuse punkti tingimuste ja hooldusomaduste piiravad tõenäosused.
Lahendus. Siin α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Need andmed tuleb sisestada kalkulaatorisse.

Süsteem võtab vastu Poissoni päringute voo intensiivsusega λ, teenusevoo intensiivsus on μ, maksimaalne kohtade arv järjekorras on T. Kui rakendus siseneb süsteemi, kui kõik kohad järjekorras on hõivatud, jätab see süsteemi teenindamata.

Sellise süsteemi olekute lõplikud tõenäosused on alati olemas, kuna olekute arv on piiratud:

S 0 – süsteem on vaba ja jõudeolekus;

S 1 – üks päring on teenindatud, kanal on hõivatud, järjekord puudub;

S 2 – üks taotlus on kättetoimetamisel, üks on järjekorras;

S m +1 - edastatakse üks taotlus, T järjekorda.

Sellise süsteemi olekugraafik on näidatud joonisel 5:

S 0 S 1 S 2 S m+1

μ μ μ ………. μ μ

Joonis 5: Ühe kanaliga QS piiratud järjekorraga.

Valemis for R 0 Leiame geomeetrilise progressiooni lõpliku arvu liikmete summa:

(52)

Võttes arvesse ρ valemit, saame avaldise:

Sulgudes on (m+2) geomeetrilise progressiooni elemendid, mille esimene liige on 1 ja nimetaja ρ. Kasutades progressiooni (m+2) liikmete summa valemit:

(54)

(55)

Piiravate olekute tõenäosuste valemid näevad välja järgmised:

Teenusest keeldumise tõenäosus defineerime päringu kui tõenäosuse, et kui päring süsteemi saabub, on selle kanal hõivatud ja kõik kohad järjekorras on samuti hõivatud:

(57)

Sellest ka teenimise tõenäosus(ja ka alates kandja ribalaius) on võrdsed vastupidise sündmuse tõenäosusega:

Absoluutne läbilaskevõime– süsteemi poolt teenindatavate rakenduste arv ajaühikus:

(59)

Keskmine teenuses olevate rakenduste arv:

(60)

(61)

Keskmine rakenduste arv süsteemis:

(62)

Mathcadis võib kaaluda piiratud järjekorraga ühe kanaliga QS-i.

Näide:

Parkla teenindab 3 autot vooluhulgaga 0,5 ja keskmise teenindusajaga 2,5 minutit. Määrake kõik süsteemi indikaatorid.

6 Mitme kanaliga smo piiramatu järjekorraga

Olgu antud süsteem S, millel on P teeninduskanalid, mis võtavad vastu lihtsaima päringute voo intensiivsusega λ. Olgu ka teenusevoog kõige lihtsam ja intensiivsusega μ. Teenuse järjekord on piiramatu.

Süsteemi rakenduste arvuga tähistame süsteemi olekuid: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , kus S k – süsteemi olek, kui selles on k päringut (maksimaalne teenindatavate päringute arv on n). Sellise süsteemi olekugraafik on kujutatud diagrammina joonisel 6:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m+1 S n

μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ

Joonis 6: Mitme kanaliga QS piiramatu järjekorraga.

Teenuse voo intensiivsus varieerub sõltuvalt süsteemi olekust: kμ üleminekul olekust S k olekusse S k -1, kuna mis tahes k kanalid; pärast seda, kui kõik kanalid on teenusega hõivatud, jääb teenusevoo intensiivsus samaks pμ, edaspidiste taotluste süsteemi laekumisel.

Olekute lõplike tõenäosuste leidmiseks saame valemid, mis on sarnased sellega, kuidas seda tehti ühe kanaliga süsteemi puhul.

(63)

Seega on lõplike tõenäosuste valemid väljendatud läbi

Leidma R 0 saame võrrandi:

Sulgudes olevate terminite puhul, alates (n+ 2)-ndast, saate rakendada valemit lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa leidmiseks esimese liikmega ja nimetaja ρ/n:

(66)

Lõpuks saame süsteemi seisaku tõenäosuse leidmiseks Erlangi valemi:

(67)

Esitame valemid süsteemi jõudluse peamiste näitajate arvutamiseks.

Süsteem tuleb rakenduste vooluga toime, kui

tingimus täidetud

, (68)

mis tähendab, et süsteemi saabunud taotluste arv ajaühiku kohta ei ületa sama aja jooksul süsteemi poolt teenindatavate taotluste arvu. Kus teenusest keeldumise tõenäosus võrdne nulliga.

Siit teenindamise tõenäosus(ja ka suhteline läbilaskevõime süsteemid) on võrdsed vastupidise sündmuse tõenäosusega, see tähendab ühtsusega:

(69)

Absoluutneläbilaskevõime- süsteemi poolt teenindatavate rakenduste arv ajaühiku kohta:

(70)

Kui süsteem päringute vooga hakkama saab, siis statsionaarses režiimis väljavoolu intensiivsus võrdub süsteemi sisenevate rakenduste voo intensiivsusega, kuna kõiki rakendusi teenindatakse:

ν=λ . (71)

Kuna iga kanal teenindab μ päringut ajaühiku kohta, siis keskmine hõivatud kanalite arv saab arvutada:

(72)

Keskmineaegateenusühe päringu kanal ;

. (73)

Tõenäosus, et rakendus on süsteemi sisenemisel järjekorras, on võrdne tõenäosusega, et rakendusi on rohkem kui P rakendused:

(74)

Teenindatavate rakenduste arv võrdub hõivatud kanalite arvuga:

(75)

Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv:

(76)

Siis keskminenumberrakendusisüsteemis:

(77)

Keskmine aeg, mille jooksul rakendus on süsteemis (järjekorras):

(78)

(79)

Mathcad süsteemis võib kaaluda piiramatu järjekorraga mitme kanaliga QS-i.

Näide 1:

Juuksurisalongis on 5 juuksurit. Tipptunnil on kliendivoo intensiivsus 6 inimest. Kell üks. Ühe kliendi teenindamine kestab keskmiselt 40 minutit. Määrake järjekorra keskmine pikkus, eeldades, et see on piiramatu.

Fragment ülesande lahendamisest Mathcadis.

Näide 2:

Raudtee piletikassas on 2 akent. Ühe reisija teenindamiseks kulub 0,5 minutit. Reisijad lähenevad piletile 3-liikmelistes rühmades. Määrake süsteemi kõik omadused.

Fragment ülesande lahendamisest Mathcadis.

Probleemi lahendamise jätkamine Mathcadis.

Vaatleme kõige lihtsamat QS-i koos ootamisega - ühe kanaliga süsteemi, mis võtab vastu intensiivsusega päringute voo; teenuse intensiivsus (st keskmiselt väljastab pidevalt hõivatud kanal teenindatavaid taotlusi (ajaühiku) kohta. Taotlus, mis saabub ajal, mil kanal on hõivatud, on järjekorda pandud ja ootab teenust.

Piiratud järjekorra pikkusega süsteem. Oletame esmalt, et järjekorra kohtade arv on piiratud arvuga , st kui rakendus saabub ajal, mil järjekorras on juba rakendusi, jätab see süsteemi teenindamata. Tulevikus, kiirustades lõpmatuseni, saame ühe kanaliga QS-i omadused ilma järjekorra pikkuse piiranguteta.

QS-i olekud nummerdame vastavalt süsteemis olevate rakenduste (nii hooldatavate kui ka teenust ootavate) arvule:

Kanal on tasuta;

Kanal on hõivatud, järjekorda pole;

Kanal on hõivatud, üks rakendus on järjekorras;

Kanal on hõivatud, rakendused on järjekorras;

Kanal on hõivatud, palju rakendusi on järjekorras.

GSP on näidatud joonisel fig. 5.8. Kõik sündmuste voogude intensiivsused, mis liiguvad süsteemi piki nooli vasakult paremale, on võrdsed ja paremalt vasakule - . Tõepoolest, päringute voog liigutab süsteemi mööda nooli vasakult paremale (niipea kui päring saabub, läheb süsteem järgmisse olekusse), samal ajal kui paremalt vasakule toimub hõivatud kanali „vabastuste” voog. , millel on intensiivsus (niipea kui järgmine päring on teenindatud, muutub kanal kas vabaks või vähendab järjekorras olevate rakenduste arvu).

Riis. 5.8. Ühe kanaliga QS koos ootamisega

Joonisel fig. 5.8 diagramm on paljunemise ja surma diagramm. Kasutades üldlahendust (5.32)-(5.34), kirjutame olekute piiravate tõenäosuste avaldised (vt ka (5.40)):

või kasutades:

(5.45) viimane rida sisaldab geomeetrilist progressiooni esimese liikmega 1 ja nimetajaga p; kust me saame:

millega seoses on piiravad tõenäosused kujul:

Avaldis (5.46) kehtib ainult (sest see annab vormi määramatuse). Nimetajaga geomeetrilise progressiooni summa on võrdne , ja antud juhul

Määrame QS-i omadused: rikke tõenäosus, suhteline läbilaskevõime, absoluutne läbilaskevõime, keskmine järjekorra pikkus, keskmine süsteemiga seotud rakenduste arv, keskmine ooteaeg järjekorras, keskmine QS-is viibimise aeg

Ebaõnnestumise tõenäosus. Ilmselgelt lükatakse taotlus tagasi ainult siis, kui kanal on hõivatud ja kõik t kohad järjekorras on samuti hõivatud:

Suhteline ribalaius:

Absoluutne läbilaskevõime:

Keskmine järjekorra pikkus. Leiame diskreetse juhusliku suuruse matemaatilise ootusena järjekorras olevate rakenduste keskmise arvu – rakenduste arv järjekorras:

Tõenäosusega on järjekorras üks rakendus, tõenäosusega kaks rakendust, üldiselt on tõenäosusega järjekorras rakendusi jne, kust:

Kuna , saab (5.50) summat tõlgendada kui tuletist geomeetrilise progressiooni summa suhtes:

Asendades selle avaldise väärtusega (5.50) ja kasutades väärtust (5.47), saame lõpuks:

Keskmine rakenduste arv süsteemis. Järgmisena saame süsteemiga seotud rakenduste (nii järjekorras seisvate kui ka teenindatavate) keskmise arvu valemi. Kuna , kus on keskmine teenuses olevate rakenduste arv, on teada, jääb üle kindlaks teha . Kuna kanaleid on ainult üks, võib teenindatavate päringute arv olla võrdne (tõenäosusega ) või 1 (tõenäosusega ), millest:

ja QS-iga seotud rakenduste keskmine arv on

Keskmine ooteaeg taotlusele järjekorras. Tähistame seda; kui päring tuleb süsteemi mingil ajahetkel, siis tõenäoliselt ei ole teeninduskanal hõivatud ja ta ei pea ootama järjekorras (ooteaeg on null). Tõenäoliselt siseneb ta süsteemi mõne päringu teenindamise ajal, kuid tema ees ei ole järjekorda ja päring ootab teatud aja (keskmine teenindamise aeg) oma teenindamise algust taotlus). On tõenäoline, et enne taotluse läbivaatamist on järjekorras veel mõni taotlus ja keskmine ooteaeg võrdub jne.

Kui st kui äsja saabunud päring leiab, et teeninduskanal on hõivatud ja rakendused on järjekorras (selle tõenäosus), siis sel juhul päring järjekorda ei satu (ja seda ei teenindata), seega on ooteaeg null . Keskmine ooteaeg on:

kui asendada siin tõenäosuste (5.47) avaldised, saame:

Siin kasutame seoseid (5.50), (5.51) (geomeetrilise progressiooni tuletis), samuti (5.47). Võrreldes seda avaldist väärtusega (5.51), märgime, et teisisõnu on keskmine ooteaeg võrdne keskmise rakenduste arvuga järjekorras, mis on jagatud rakenduste voo intensiivsusega.

Keskmine aeg, mille jooksul rakendus süsteemis viibib. Tähistagem juhusliku suuruse matemaatilist ootust - päringu QS-is viibimise aega, mis on keskmise ooteaja ja keskmise teenindusaja summa. Kui süsteemi koormus on 100%, siis ilmselt muidu

Näide 5.6. Tankla (bensiinijaam) on ühe teeninduskanaliga (üks veerg) tankla.

Jaama ala võimaldab korraga tankimisjärjekorras olla kuni kolm autot. Kui järjekorras on juba kolm autot, siis järgmine jaama saabuv auto järjekorda ei astu. Tankimisele saabuvate autode voog on intensiivsusega (auto minutis). Tankimisprotsess kestab keskmiselt 1,25 minutit.

Määratlege:

ebaõnnestumise tõenäosus;

bensiinijaamade suhteline ja absoluutne võimsus;

keskmine tankimist ootavate autode arv;

keskmine autode arv tanklas (kaasa arvatud hooldatavad);

keskmine ooteaeg järjekorras olevale autole;

keskmine aeg, mille auto bensiinijaamas veedab (kaasa arvatud teenindus).

teisisõnu, keskmine ooteaeg võrdub järjekorras olevate rakenduste keskmise arvuga, mis on jagatud rakenduste voo intensiivsusega.

Esmalt leiame rakenduste voo vähenenud intensiivsuse:

Vastavalt valemitele (5.47):

Ebaõnnestumise tõenäosus.

QS suhteline võimsus

QS-i absoluutne läbilaskevõime

Autosid minutis.

Järjekorras olevate autode keskmise arvu leiame valemiga (5.51)

st keskmine tankimisjärjekorras autode arv on 1,56.

Sellele väärtusele lisatakse keskmine hoolduses olevate sõidukite arv

saame bensiinijaamaga seotud keskmise autode arvu.

Keskmine ooteaeg järjekorras olevale autole vastavalt valemile (5.54)

Sellele väärtusele lisades saame keskmise aja, mille auto bensiinijaamas veedab:

Piiramatu ootesüsteem. Sellistes süsteemides ei ole m väärtus piiratud ja seetõttu saab põhikarakteristikud saada eelnevalt saadud avaldistes (5.44), (5.45) jne piirini üle minnes.

Pange tähele, et nimetaja viimases valemis (5.45) on geomeetrilise progressiooni lõpmatu arvu liikmete summa. See summa läheneb, kui progresseerumine väheneb lõpmatult, st kui .

Saab tõestada, et ootega QS-is eksisteerib tingimus, mille korral eksisteerib piirav püsiseisundi režiim, vastasel juhul sellist režiimi ei eksisteeri ja järjekord aadressil tahe suureneb piiramatult. Seetõttu eeldatakse järgnevas, et .

Kui , siis on seosed (5.47) järgmisel kujul:

Järjekorra pikkuse piirangute puudumisel teenindatakse iga süsteemi sisenevat rakendust, mistõttu

Järjekorras olevate taotluste keskmise arvu saame (5.51) aadressilt:

Keskmine rakenduste arv süsteemis valemi (5.52) järgi koos

Valemist saame keskmise ooteaja

(5.53) aadressil:

Lõpuks on rakenduse keskmine QS-is viibimise aeg

Mitme kanaliga QS koos ootamisega

Piiratud järjekorra pikkusega süsteem. Vaatleme ootamisega kanalit QS, mis võtab vastu päringute voo intensiivsusega ; teenuse intensiivsus (ühe kanali jaoks); kohtade arv järjekorras.

Süsteemi olekud on nummerdatud vastavalt süsteemiga seotud päringute arvule:

järjekorda pole:

Kõik kanalid on tasuta;

Üks kanal on hõivatud, ülejäänud on vabad;

Kanalid on hõivatud, ülejäänud mitte;

Kõik kanalid on hõivatud, vabu kanaleid pole;

seal on järjekord:

Kõik n kanalit on hõivatud; üks taotlus on järjekorras;

Kõik n kanalit on hõivatud, r rakendust on järjekorras;

Kõik n kanalit on hõivatud, r rakendust on järjekorras.

GSP on näidatud joonisel fig. 5.9. Iga nool on tähistatud sündmuste voogude vastava intensiivsusega. Mööda nooli vasakult paremale edastatakse süsteemi alati sama päringute vooga intensiivsusega

Riis. 5.9. Mitme kanaliga QS koos ootamisega

Graafik on tüüpiline paljunemis- ja surmaprotsessidele, mille jaoks saadi varem lahendus (5.29)-(5.33). Kirjutame avaldised olekute piiravate tõenäosuste jaoks, kasutades tähistust: (siin kasutame nimetajaga geomeetrilise progressiooni summa avaldist).

Seega on leitud kõik olekutõenäosused.

Määrame kindlaks süsteemi jõudlusnäitajad.

Ebaõnnestumise tõenäosus. Vastuvõetud taotlus lükatakse tagasi, kui kõik kanalid ja kõik kohad järjekorras on hõivatud:

Suhteline läbilaskevõime täiendab ebaõnnestumise tõenäosust ühega:

QS-i absoluutne läbilaskevõime:

Keskmine hõivatud kanalite arv. Keeldumisega QS-i puhul langes see kokku keskmise taotluste arvuga süsteemis. Järjekorraga QS-i puhul ei lange keskmine hõivatud kanalite arv kokku keskmise rakenduste arvuga süsteemis: viimane väärtus erineb esimesest järjekorras olevate rakenduste keskmise arvu poolest.

Tähistame keskmist hõivatud kanalite arvu . Iga hõivatud kanal teenindab keskmiselt päringuid ajaühiku kohta ja QS tervikuna teenindab keskmisi taotlusi ajaühiku kohta. Jagades ühe teisega, saame:

Järjekorras olevate päringute keskmise arvu saab arvutada otse diskreetse juhusliku muutuja matemaatilise ootusena:

Siingi (sulgudes olev avaldis) esineb geomeetrilise progressiooni summa tuletis (vt ülalt (5.50), (5.51)-(5.53)), kasutades selleks seost, saame:

Keskmine rakenduste arv süsteemis:

Keskmine ooteaeg taotlusele järjekorras. Vaatleme mitmeid olukordi, mis erinevad selle poolest, millises olekus äsja saabunud päring süsteemi leiab ja kui kaua see teenust ootama peab.

Kui päring ei leia, et kõik kanalid on hõivatud, ei pea see üldse ootama (matemaatilise ootuse vastavad terminid on võrdsed nulliga). Kui päring saabub ajal, mil kõik kanalid on hõivatud ja järjekorda pole, peab see ootama keskmiselt aega, mis on võrdne (kuna kanalite “väljaannete voo” intensiivsus on ). Kui rakendus leiab, et kõik kanalid on hõivatud ja üks rakendus on järjekorras, peab ta ootama keskmiselt teatud aja (iga ees oleva rakenduse puhul) jne. Kui rakendus satub rakenduste järjekorda , peab see ootama keskmiselt teatud aja. Kui äsja saabunud rakendus leiab juba järjekorras olevaid rakendusi, siis see ei oota üldse (aga seda ei teenindata). Leiame keskmise ooteaja, korrutades kõik need väärtused vastavate tõenäosustega:

Nii nagu ühe kanaliga QS koos ootamisega, märgime, et see avaldis erineb keskmise järjekorra pikkuse avaldisest (5,59) ainult teguri võrra, s.o.

Päringu keskmine viibimisaeg süsteemis ja ka ühe kanaliga QS erineb keskmisest ooteajast keskmise teenindusaja ja suhtelise läbilaskevõimega:

Piiramatu järjekorra pikkusega süsteemid. Kaalusime ootamisega QS-i kanalit, kui korraga ei saa järjekorras olla rohkem kui päring.

Nii nagu varemgi, tuleb piiranguteta süsteemide analüüsimisel arvestada saadud seostega .

Seiskude tõenäosused saame valemitest (5.56), minnes piirini (at ). Pange tähele, et vastava geomeetrilise progressiooni summa läheneb ja lahkneb juures . Eeldades, et ja suunates m väärtuse valemites (5.56) lõpmatusse, saame olekute piiravate tõenäosuste avaldised:

Rikke tõenäosus, suhteline ja absoluutne läbilaskevõime. Kuna iga päringut varem või hiljem teenindatakse, on QS-i läbilaskevõime omadused järgmised:

Saame keskmise taotluste arvu järjekorras alates (5.59):

ja keskmine ooteaeg on alates (5.60):

Hõivatud kanalite keskmine arv, nagu varemgi, määratakse absoluutse läbilaskevõime kaudu:

QS-iga seotud rakenduste keskmine arv on defineeritud kui keskmine rakenduste arv järjekorras, millele lisandub keskmine teenuses olevate rakenduste arv (keskmine hõivatud kanalite arv):

Näide 5.7. Kahe pumbaga () bensiinijaam teenindab autode voolu intensiivsusega (autot minutis). Keskmine hooldusaeg masina kohta

Teist tanklat piirkonnas ei ole, mistõttu võib tankla ees olev autode rivi pea piiramatult kasvada. Leidke QS-i omadused.

Alates , järjekord lõputult ei kasva ja on mõttekas rääkida QS-i piiravast statsionaarsest töörežiimist. Valemite (5.61) abil leiame olekute tõenäosused:

Leiame keskmise hõivatud kanalite arvu, jagades QS-i absoluutse läbilaskevõime teenuse intensiivsusega:

Tõenäosus, et tanklas järjekorda ei teki, on:

Keskmine autode arv järjekorras:

Keskmine autode arv tanklates:

Keskmine ooteaeg järjekorras:

Keskmine aeg, mille auto bensiinijaamas veedab:

QS piiratud ooteajaga. Varem pidasime ootamise süsteeme piiratuks ainult järjekorra pikkusega (samaaegselt järjekorras olevate rakenduste arv). Sellises QS-is ei lahku rakendus, kui see on järjekorda pandud, sealt enne teenust ootamist. Praktikas on ka teist tüüpi QS-i, mille puhul rakendus võib pärast mõnda aega ootamist järjekorrast lahkuda (nn kannatamatud rakendused).

Vaatleme seda tüüpi QS-i, eeldades, et ooteaja piirang on juhuslik muutuja.

Oletame, et on olemas ootega kanal QS, milles kohtade arv järjekorras ei ole piiratud, kuid rakenduse järjekorras viibimise aeg on mingi juhuslik muutuja keskmise väärtusega , seega iga rakenduse kohta järjekord, omamoodi Poissoni “väljumiste voog” toimib » avalduste intensiivsusega seistakse järjekorras jne.

Süsteemi olekute ja üleminekute graafik on näidatud joonisel fig. 5.10.

Riis. 5.10. QS piiratud ooteajaga

Märgime selle graafiku nagu varemgi; kõik vasakult paremale viivad nooled näitavad rakenduste voo intensiivsust. Järjekorrata olekute puhul näitavad nendest paremalt vasakule viivad nooled nagu varemgi kõiki hõivatud kanaleid teenindava voo koguintensiivsust. Järjekorraga olekute puhul näitavad paremalt vasakule viivad nooled kõigi kanalite teenusevoo koguintensiivsust pluss järjekorrast väljumiste voo vastavat intensiivsust. Kui järjekorras on rakendusi, on väljumiste voo summaarne intensiivsus .

Nagu graafikult näha, on olemas paljunemise ja surma muster; Kasutades selle skeemi olekute piiravate tõenäosuste üldavaldisi (kasutades lühendatud tähistust), kirjutame:

Märkigem mõningaid piiratud ootamisega QS-i omadusi võrreldes varem käsitletud „patsiendi” taotlustega QS-iga.

Kui järjekorra pikkus ei ole piiratud ja päringud on “kannatlikud” (ärge väljuge järjekorrast), siis on statsionaarne piirrežiim olemas ainult juhul (kohal lahkneb vastav lõpmatu geomeetriline progressioon, mis füüsiliselt vastab piiramatule kasvule järjekorrast aadressil ).

Vastupidi, QS-is, kus “kannatamatud” kliendid varem või hiljem järjekorrast lahkuvad, saavutatakse alati kehtestatud teenindusrežiim juures, sõltumata kliendivoo vähenenud intensiivsusest, ilma lõpmatuid seeriaid (5.63) summeerimata. Alates (5.64) saame:

ja selles valemis sisalduvate hõivatud kanalite keskmise arvu võib leida juhusliku muutuja matemaatilise ootusena, mis võtab väärtusi tõenäosustega:

Kokkuvõtteks märgime, et kui valemites (5.62) läheme piirini punktis (või, mis on sama, at ), siis punktis saame valemid (5.61), st “kannatamatud” rakendused muutuvad “kannatlikuks”.

Järjekorrasüsteemi toimingud ehk efektiivsus on järgmine.

Sest QS tõrgetega:

Sest SMO piiramatu ootamisega nii absoluutne kui ka suhteline läbilaskevõime kaotavad oma tähenduse, kuna iga sissetulev päring teenindatakse varem või hiljem. Sellise QS jaoks on olulised näitajad:

Sest Segatüüpi QS kasutatakse mõlemat näitajate rühma: nii suhtelist kui ka absoluutne läbilaskevõime ja ootuste omadused.

Olenevalt järjekorra toimingu eesmärgist saab efektiivsuse kriteeriumiks valida mis tahes etteantud näitajatest (või indikaatorite komplekti).

Analüütiline mudel QS on võrrandite või valemite kogum, mis võimaldab määrata süsteemi olekute tõenäosusi selle töö ajal ja arvutada jõudlusnäitajaid sissetulevate voogude ja teeninduskanalite teadaolevate omaduste põhjal.

Suvalise QS jaoks puudub üldine analüütiline mudel. Piiratud arvu QS-i erijuhtude jaoks on välja töötatud analüütilised mudelid. Analüütilised mudelid, mis enam-vähem täpselt peegeldavad tegelikke süsteeme, on tavaliselt keerulised ja raskesti visualiseeritavad.

QS-i analüütilist modelleerimist hõlbustab oluliselt see, kui QS-is toimuvad protsessid on markovised (päringute vood on lihtsad, teenindusajad jaotuvad eksponentsiaalselt). Sel juhul saab kõiki QS-i protsesse kirjeldada tavaliste diferentsiaalvõrranditega, statsionaarsete olekute korral aga lineaarsete algebraliste võrranditega ning nende lahendamisel määrata valitud efektiivsusnäitajad.

Vaatame mõne QS näiteid.

2.5.1. Mitmekanaliline QS tõrgetega

Näide 2.5. Kolm liiklusinspektorit kontrollivad veokijuhtide saatelehti. Kui vähemalt üks kontrollija on vaba, peatatakse mööduv veok. Kui kõik inspektorid on hõivatud, sõidab veok peatumata mööda. Veokite voog on lihtne, kontrollaeg juhuslik ja eksponentsiaalse jaotusega.

Seda olukorda saab modelleerida kolme kanaliga tõrgetega QS-iga (ei järjekorda). Süsteem on avatud ahelaga, homogeensete päringutega, ühefaasiline, absoluutselt usaldusväärsete kanalitega.

Seisukohtade kirjeldus:

Kõik inspektorid on tasuta;

Üks inspektor on hõivatud;

Kaks inspektorit on hõivatud;

Kolm inspektorit on hõivatud.

Süsteemi oleku graafik on näidatud joonisel fig. 2.11.

Riis. 2.11.

Graafikul: - veoauto voolu intensiivsus; - ühe liiklusinspektori dokumendikontrolli intensiivsus.

Simulatsioon tehakse selleks, et määrata kindlaks sõidukite osa, mida ei katsetata.

Lahendus

Tõenäosuse nõutav osa on kõigi kolme inspektori töölevõtmise tõenäosus. Kuna olekugraafik kujutab tüüpilist "surma ja paljunemise" skeemi, leiame sõltuvuste (2.2) kasutamise.

Selle liiklusinspektori ametikoha läbilaskevõimet saab iseloomustada suhteline läbilaskevõime:

Näide 2.6. Luurerühma teadete vastuvõtmiseks ja töötlemiseks määrati ühingu luureosakonda kolmest ohvitserist koosnev rühm. Aruannete voo eeldatav intensiivsus on 15 teadet tunnis. Ühe ametniku ühe aruande töötlemise keskmine aeg on . Iga ohvitser võib saada teateid mis tahes luurerühmalt. Vabastatud ohvitser töötleb viimast laekunud teadet. Sissetulevad aruanded tuleb töödelda vähemalt 95% tõenäosusega.

Tehke kindlaks, kas kolmest ohvitserist koosnev meeskond on määratud ülesande täitmiseks piisav.

Lahendus

Rühm ohvitseridest tegutseb kolmest kanalist koosneva tõrgetega ühise korraldusasutusena.

Intensiivsusega aruannete voog võib pidada kõige lihtsamaks, kuna see on mitme luurerühma kokku. Teenuse intensiivsus . Jaotusseadus pole teada, kuid see pole oluline, kuna on näidatud, et tõrgetega süsteemide puhul võib see olla meelevaldne.

QS olekute kirjeldus ja olekugraafik on sarnased näites 2.5 toodud kirjeldatutega.

Kuna olekugraafik on "surma ja taastootmise" skeem, on selle jaoks oleku piiravate tõenäosuste jaoks valmis avaldised:

Suhtumist nimetatakse arvestades rakenduste voo intensiivsust. Selle füüsiline tähendus on järgmine: väärtus tähistab keskmist QS-i saabunud päringute arvu ühe päringu teenindamise keskmise aja jooksul.

Näites .

Vaadeldavas QS-is ilmneb tõrge siis, kui kõik kolm kanalit on hõivatud, st. Seejärel:

Sest ebaõnnestumise tõenäosus aruannete menetlemisel on üle 34% (), siis on vaja suurendada kontserni personali. Kahekordistame grupi koosseisu, st CMO-l on nüüd kuus kanalit ja arvutame:

Seega saab saabuvaid teateid 95% tõenäosusega töödelda vaid kuuest ametnikust koosnev rühm.

2.5.2. Mitme kanaliga QS koos ootamisega

Näide 2.7. Jõeületuspunktis on 15 sarnast ülekäigurajatist. Ülesõidukohale saabuva varustuse voog on keskmiselt 1 ühik/min, keskmine ühe varustusühiku ületamise aeg on 10 minutit (koos ülekäigusõiduki tagasitulekuga).

Hinnake ülesõidu põhiomadusi, sealhulgas kohese ületamise tõenäosust kohe pärast varustusüksuse saabumist.

Lahendus

Absoluutne läbilaskevõime, ehk kõik, mis ülekäigule läheneb, on praktiliselt kohe ületatud.

Töötavate ülekäigurajatiste keskmine arv:

Praami kasutus- ja seisakumäärad:

Näite lahendamiseks töötati välja ka programm. Eeldatakse, et seadmete ristmikule jõudmise ajaintervallid ja ülesõiduaeg jaotuvad vastavalt eksponentsiaalseadusele.

Ülesõidu kasutusmäärad pärast 50 jooksu on peaaegu samad: .