Пирамида. Подробная теория. Высота пирамиды. Как ее найти? Высота треугольной пирамиды онлайн

⁰

Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

У пирамиды есть ребра . Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань - это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой . Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

Прямоугольная - у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
Правильная - ее основание - какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
Тетраэдр - пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h V = 3 1 ⋅ S осн ⋅ h

S осн S_{\text{осн}} S осн - площадь основания пирамиды;
h h h - высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна 100 см 2 100\text{ см}^2 1 0 0 см 2 , а высота ее равна 30 см 30\text{ см} 3 0 см . Найдите объем тела.

Решение

S осн = 100 S_{\text{осн}}=100 S осн = 1 0 0
h = 30 h=30 h = 3 0

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 30=1000\text{ см}^3 V = 3 1 ⋅ S осн ⋅ h = 3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 см 3

Ответ

1000 см 3 . 1000\text{ см}^3. 1 0 0 0 см 3 .

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}} V = 4 3 h ⋅ a 2

H h h - высота пирамиды;
a a a

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см 5\text{ см} 5 см , а высота пирамиды равна – 19 см 19\text{ см} 1 9 см .

Решение

A = 5 a=5 a = 5
h = 19 h=19 h = 1 9

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68.6 см 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{19\cdot 5^2}{4\sqrt{3}}\approx68.6\text{ см}^3 V = 4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 см 3

Ответ

68.6 см 3 . 68.6\text{ см}^3. 6 8 . 6 см 3 .

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2 V = 3 1 ⋅ h ⋅ a 2

H h h - высота пирамиды;
a a a - сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см 7\text{ см} 7 см , a сторона основания составляет – 2 см 2\text{ см} 2 см .

Решение

A = 2 a=2 a = 2
h = 7 h=7 h = 7

По формуле вычисляем:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9.3 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text{ см}^3 V = 3 1 ⋅ h ⋅ a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 см 3

Ответ

9.3 см 3 . 9.3\text{ см}^3. 9 . 3 см 3 .

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12} V = 1 2 2 ⋅ a 3

A a a - длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна 13 см 13\text{ см} 1 3 см . Найдите его объем.

Решение

A = 13 a=13 a = 1 3

Подставляем a a a в формулу для объема тетраэдра:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 см 3 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 13^3}{12}\approx259\text{ см}^3 V = 1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 см 3

Ответ

$259\text{ см}^3.$

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

$\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}$

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: $a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Решение

$\vec{a}=(2,3,5)$

По формуле:

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac{1}{6}\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac{1}{6}\cdot(-4)=-\frac{2}{3}\approx-0.7$

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

$V=0.7\text{ см}^3$

Ответ

$0.7\text{ см}^3.$

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
Площади боковых граней одинаковы;
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a = 6 см. Боковая грань пирамиды равна b = 8 см. Найдите объем пирамиды.

Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:

Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h . Она будет равна:

Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:

Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.